Integrali curvilinei esercizi svolti pdf
integrali curvilinei: esercizi svolti
<strong>integrali</strong> <strong>curvilinei</strong>:<br />
<strong>esercizi</strong> <strong>svolti</strong><br />
1.1 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve ............. 2<br />
1.2 Esercizi sulla lunghezza di una curva ................. 20<br />
2 Esercizi sugli <strong>integrali</strong> <strong>curvilinei</strong> ........................ 23<br />
2.1 Esercizi sugli <strong>integrali</strong> <strong>curvilinei</strong> di I specie ............. 23<br />
2.2 Esercizi sugli <strong>integrali</strong> <strong>curvilinei</strong> di II specie . . ........... 29<br />
1
2 Curve e <strong>integrali</strong> <strong>curvilinei</strong>: <strong>esercizi</strong> <strong>svolti</strong><br />
1.1 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve<br />
Esercizio 1. Stabilire se le seguenti curve parametriche sono regolari:<br />
a) γ(t) = ( t 2 ,t 3) , t ∈ [−1, 1] [No]<br />
b) γ(t) = (sin t, π
Gauss Green
Esercizio 1. Calcolare l’area di
½ ¾
x2 y2
E= (x, y) ∈ R2 : + ≤1 ,
a2 b2
dove a > 0, b > 0 sono fissati.
Svolgimento. Si consideri la curva regolare Γ che percorre in senso in senso antiorario, una volta sola, il
2 2
bordo della regione E, cioè l’ellisse xa2 + yb2 = 1. Una parametrizzazione di Γ è
−
→ −
→ −
→
r (t) = a cos(t) i 1 + b sin(t) i 2 , t ∈ [0, 2π]
Applichiamo la formula di Gauss-Green per l’area
I I
1 1 −
→
area(E) = (x dy − y dx) = F · dΓ ,
2 Γ 2 Γ
−
→ −
→ −
→
dove F = −y i 1 + x i 2 , e calcoliamo l’integrale curvilineo. Essendo
→
− →
− −
→
r 0 (t) = −a sin(t) i 1 + b cos(t) i 2
→
− − −
→ −
→
F (→ r (t)) = −b sin(t) i 1 + a cos(t) i 2
si ha Z Z
2π 2π
1 ab
area(E) = (ab sin2 (t) + ab cos2 (t)) dt = dt = πab
2 0 2 0
Esercizio 2. Calcolare I
(x3 − xy 3 ) dx + (y 2 − 2xy) dy
Γ
dove Γ è il perimetro del quadrato Q = [0, 2] × [0, 2] percorso in senso antiorario.
Svolgimento. Non conviene calcolare direttamente l’integrale curvilineo: dovrei “spezzarlo” in 4 integrali,
essendo Γ dato dall’unione delle quattro curve corrispondenti ai lati del quadrato.
È invece opportuno usare la formula di Gauss-Green “al rov
Integrali Curvilinei Prima Specie
Sezione D-G. (F. Lastaria).
1 Integrali curvilinei
1.1 Esercizi su lunghezze e integrali curvilinei di prima specie
Esercizio 1.1 Calcolare la lunghezza della circonferenza di raggio R.
Soluzione. Una parametrizzazione della circonferenza di raggio R è
γ(t) = (x(t), y(t)) = (R cos t, R sin t), t ∈ [0, 2π]
Il vettore tangente è γ 0 (t) = (−R sin t, R cos t), il cui modulo è
p
|γ 0 (t)| = R2 sin2 t + R2 cos2 t = R
Quindi la lunghezza della circonferenza è data da:
Z 2π Z 2π
|γ 0 (t)| dt = R dt = 2πR
0 0
Esercizio 1.2 Calcolare la lunghezza della curva parametrizzata γ(t) = (e2t , 2et , t), t ∈ [0, 1].
Qual è la massa totale del sostegno della curva, se la sua densità lineare di massa è costante
e identico a δ?
Soluzione. La lunghezza della curva è
Z Z 1 Z 1p Z 1
0
£ ¤1
ds = |γ (t)| dt = 4t 2t
4e + 4e + 1 dt = (2e2t + 1) dt = e2t + t 0 = e2
γ 0 0 0
Se la densità lineare di massa δ è costante, la massa totale è giorno dall’integrale
Z Z
δ ds = δ ds = δ · Lunghezza = δ e2
γ γ
Esercizio 1.3 Calcolare la lunghezza dell’elica cilindrica
γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, 2π] (1.1)
Soluzione. Il vettore tangente
.